Меню

Сформулируйте задачу о диете



Сформулируйте задачу о диете

Исторические задача о диете является одной из первых задач линейного программирования.

Постановка задачи — первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.

Даме необходимо похудеть, за помощью обратилась к подруге.

Построение модели — рассмотрение этого этапа и является главной целью.

Подруга посоветовала перейти на рациональное питание, состоящее из двух продуктов P и Q .

Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом Q — 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 килограмма продукта Р равна 15 руб., а 1 кг продукта Q — 25 руб.

Так как дама была стеснена в средствах, но ее интересовал вопрос: в какой пропорции нужно брать эти продукты для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?

Перейдем к формализации данной ситуации на языке математических символов.

Обозначим через х количество продукта Р и через у количество продукта Q , требуемые для выполнения условий диеты.

Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q , равно 15х + 4 и по условию диеты не должно превосходить 14:

В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q , равно 150х + 200у и по условию диеты должно быть не меньше 300:

Теперь о стоимости z продуктов. Она равна

и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной.

Последнее записывается так:

Тем самым мы получили систему формул:

которую решим графическим способом.

Нас интересует только та ее часть, которая лежит над треугольником BDE . Вычисляя значения z во всех трех вершинах этого треугольника

и сравнивая полученные результаты, замечаем, что наименьшее значение (35) достигается в вершине Е. Таким образом,

и искомая пропорция — 2 : 3.

2.2. Задача о выпуске продукции

Фирма выпускает два вида древесно-стружечных плит — обычные и улучшенные. При этом производится две основные операции — прессование и отделка. Требуется указать, какое количество плит каждого типа можно изготовить в течение месяца так, чтобы обеспечить максимальную прибыль при следующих ограничениях на ресурсы (материал, время, затраты):

Партия из 100 плит

Имеющиеся ресурсы на месяц

улучшенных Материал (фунты)
Время на прессование (часы)
Время на отделку (часы)
Средства (деньги)

Перейдем к построению математической модели поставленной задачи. Введем следующие обозначения. Пусть

х — количество партий в 100 плит обычного вида, изготавливаемых в течение месяца;
у
— количество партий в 100 плит улучшенного качества, изготавливаемых в течение месяца.

Тогда ожидаемую прибыль можно записать так:

Требуется найти такие значения х и у, подчиненные условиям

Для того, чтобы найти в первой четверти плоскости хОу множество точек, координаты (х, у) которых удовлетворяют указанным выше неравенствам, необходимо сначала построить прямые (по точкам их пересечения с координатными осями)

а затем, используя точку начала отсчета О(0, 0), определить соответствующие полуплоскости. Пересечением полученных полуплоскостей будет четырехугольник ОВМЕ.

Читайте также:  Моя диета l карнитин

Наша целевая функция достигает наибольшего значения в одной из вершин четырехугольника.

Нам необходимо найти координаты точки М — точки пересечения прямых EF и АВ, для этого надо решить систему уравнений

Вычислить значения z в точках В(0, 100), Е(150, 0), М(100, 50):

Из полученных значений выберем наибольшее и получим ответ:

2.3. Общая задача линейного программирования

В общем случае и число неизвестных , и число ограничений могут достигать десятков, сотен, тысяч и т.д. Однако набор соответствующих условий ничем (кроме количества) от рассмотренных выше примеров не отличается. Это нетрудно заметить уже по общей постановке задачи линейного программирования.

Стандартная математическая формулировка общей задачи линейного программирования выглядит так: требуется найти экстремальное значение показателя эффективности (целевой функции)

(линейной функции элементов решения ) при линейных ограничительных условиях, накладываемых на элементы решения:

где — заданные числа.

Что касается существующих методов решения этой задачи с числом переменных, больших двух, то в их основе лежат те же идеи, на которые мы опирались при разработке графического подхода. Конечно, в случае сильного увеличения числа переменных и ограничений техника получения решения заметно усложняется, но она опирается на совершенно стандартные, хорошо разработанные алгоритмы (возникающие трудности связаны лишь с ростом объема необходимых вычислений).

Общую постановку задачи линейного программирования можно записать в более компактной форме, если воспользоваться следующим правилом.

Правило сокращенного суммирования. Для обозначения суммы чисел :

принята такая запись:

где ∑ — знак суммирования, а k — индекс суммирования.

Это обозначение очень удобно:

А вот как выглядит запись общей задачи линейного программирования:

2.4. Транспортная задача

Важный тип задач линейного программирования представляет задача о перевозках. Называется она так потому, что цель этой задачи заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества товаров со складов к потребителю.

Сбалансированная задача — задача о перевозках, в которой общий объем товаров, готовых к отправлению, в точности равен объему товаров, который готовы принять в пунктах назначения.

Пример 1. Рассмотрим транспортную задачу, заданную таблицей

В Наличие
1 2
А 1

10

Запрос 16 14 30

Решение. Пусть — искомое число единиц товара, пересылаемого из пункта в пункт . Тогда данные таблицы можно представить в следующем виде:

при условии, что

Положим и выразим через t остальные переменные:
из первого уравнения: ,
из второго уравнения: ,
из третьего уравнения:

Тогда

Из того, что все не отрицательны, получаем, что переменная t должна удовлетворять одновременно следующим четырем неравенствам:

Тем самым, мы получили условие .

Не трудно заметить, что при t = 16.

Ответ:

В Наличие
1 2 3
А 1 8 5 6 120
2 4 9 7 180
Запрос 70 140 90 300

Пример 2. Компания имеет два товарных склада и трех оптовых покупателей. Известно, что общий объем запасов на складах составляет 300 тыс. единиц продукции и совпадает с общим объемом заказов покупателей.

Обозначим через количество товара, поставляемого со склада покупателю .

Тогда соответствующая транспортная задача может быть сформулирована следующим образом.

Минимизировать общую стоимость перевозок:

при условии, что

Получаем задачу линейного программирования, в которой основные ограничения вследствие того, что транспортная задача сбалансирована, является равенствами.

Положим и выразим через u и v остальные переменные. Имеем

Учитывая, что все перевозки должны получить неотрицательные значения, мы приходим к задаче

которую можно решить графическим методом.

Выписанные неравенства определяют на плоскости ( u, v ) пятиугольник с вершинами (30, 0), (70, 0), (70, 50), (0, 120), (0, 30).

Ответ:

Источник

Задача составления кормовой смеси или задача о диете

Пример №1 . Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг .
Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:

  • не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
  • не менее 22% белка (от общего веса смеси)
  • не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )

Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

ИнгредиентСодержание питательных веществ (кг/ингредиента)Стоимость (руб./кг)
КальцийБелокКлетчатка
Известняк
Зерно
Соевые бобы
0.38
0.001
0.002

0.09
0.5

0.02
0.08
0.04
0.15
0.40

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X 1 — содержание известняка в смеси (кг);
Х2 — содержание зерна в смеси (кг);
Х3 — содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.
Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:
0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.
Окончательный вид математической формулировки задачи:
min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3
при ограничениях
Х123= 10 000
0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80
0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500
Xj > 0, j = 1, 2, 3.

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Таблица 2

Питательные вещества

Число единиц питательных веществ в единице продукции

Необходимый минимум питательных веществ

П1 П2
S1 1 2 10
S2 3 2 8
S3 2 1 9
S4 2 2 11

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3x1 + 4x2. (5)
С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2x2) единиц питательного вещества S1, (3x1 + 2x2) единиц питательного вещества S2, (2x1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2x1 + 2x2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:
x1+2x2 ≥ 10 (6)
3x1+2x2 ≥ 8
2x1+x2 ≥ 9
2x1+2x2 ≥ 11
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:

(8)
Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).

(9)

(10)
Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

,
при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси

на не отрицательность переменных

xj≥0, j=1,2,…n,
где xj – количество j-го сырья в смеси;
n – количество видов сырья;
m – количество питательных веществ;
aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;
b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;
cj – стоимость единицы сырья j;
q – минимальный общий вид смеси.

Пример №3 . В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова — не меньше 15%, сурьмы — не меньше 15%, свинца — около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Элементы Сплав
1 2 3 4
Олово 12 20 12 20
Сурьма 12 18 18 14
Свинец 76 62 70 66
Цена на 1 кг 3,5 5,2 4,0 4,6

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

Решение
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
x1 – количество сплава 1, кг
x2 – количество сплава 2, кг
x3 – количество сплава 3, кг
x4 – количество сплава 4, кг

Пример №4 . Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:

  1. составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
  2. решить задачу графическим способом.

Решение.

Источник